ЗАДАЧА № 2

Вычислить предел функции

\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\quad,

раскрыв соответствующую неопределенность.


РЕШЕНИЕ:

Сразу использовать то, что предел частного равен частному пределов, в данном случае не получается, так как пределы числителя и знаменателя равны 0,то есть имеет место неопределенность вида 0/0. Указанную неопределенность легко раскрыть, используя метод домножения на сопряженное числителю или знаменателю выражение. В данном случае этим выражением является сумма

\sqrt{1+x}+1.

Как легко видеть, это выражение сопряжено с числителем, так как при умножении числителя на него мы избавляемся от корня квадратного. Итак, умножим числитель и значенатель на сопряженное числителю выражение (при этом ничего не изменится). Имеем

\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\lim_{x\to 0}\frac{\left(\sqrt{1+x}\right)^2-1^2}{x(\sqrt{1+x}+1)}

или

\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1+x-1{x(\sqrt{1+x}+1)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}

или

\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\quad .

Выше мы сократили числитель и знаменатель на x, так как при вычислении предела фукции существование функции в соответствующей точке не является обязательным, то есть в точке 0.
Теперь мы легко вычислим требуемый предел. Имеем

\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1{\sqrt{1+x}+1}\quad =\frac{1}{\lim_{x\to 0}\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{1+1}=1/2.



ТЕОРЕМА № 1

Если существует каждый из пределов

\lim_{x\to a}f(x),\quad \lim_{x\to a}g(x),

то

\lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x\to a}{f(x)}/\lim_{x\to a}{g(x)}.