ЗАДАЧА № 4

Вычислить предел функции

\lim_{x \to 2}{\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1}}}.


РЕШЕНИЕ:

Легко проверить, что пределы числителя и знаменателя равны 0. Необходимо преобразовать выражение, чтобы воспользоваться основными теоремами о пределах.
Умножив числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение

\sqrt{2+x}+\sqrt{3x-2}\quad,

получим

\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1}}=\frac{{\left(\sqrt{2+x}\right)}^2-{\left(\sqrt{3x-2}\right)}^2}{\left( \sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1} \right)\left( \sqrt{2+x}+\sqrt{3x-2} \right)}

или

\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1}}=\frac{(2+x)-(3x-2)}{\left( \sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1} \right)\left( \sqrt{2+x}+\sqrt{3x-2} \right)}

или

\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1}}=\frac{-2x+4}{\left( \sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1} \right)\left( \sqrt{2+x}+\sqrt{3x-2} \right)}.

Легко видеть, что и в этом случае числитель и знаменатель стремятся к 0. Продолжим преобразования.
Умножив полученное выражение на сопряженное исхожному знаменателю выражение

\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1}\quad,

получим

\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1}}=\frac{(-2x+4)(\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1})}{((4x+1)-(5x-1))(\sqrt{2+x}+\sqrt{3x-2})}

или

\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1}}=\frac{2(-x+2))(\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1})}{-x+2))(\sqrt{2+x}+\sqrt{3x-2})}

или

\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1}}=\frac{2(\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1})}{(\sqrt{2+x}+\sqrt{3x-2})}

Таким образом, имеем

\lim_{x \to 2}{\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1}}}=\lim_{x \to 2}{\frac{2(\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1})}{(\sqrt{2+x}+\sqrt{3x-2})}}=

=\frac{2\lim_{x \to 2}{\sqrt{4x+1}}+2\lim_{x\to 2}\sqrt{5x-1}}{\lim_{x \to 2}{\sqrt{2+x}}+\lim_{x \to 2}{\sqrt{3x-2}}}=\frac{2\sqrt{9}+2\sqrt{9}}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}=\frac{12}{4}=3.