ЗАДАЧА № 5

Найти производную сложной функции

x^{x}.

РЕШЕНИЕ:

Учитывая, что

x=e^{\ln x},

получим

x^x =\left( e^{\ln x} \right)^x=e^{x\ln x}.

Теперь вычислим производную. Имеем

\left( x^x \right)'=\left(e^{x\ln x} \right)'=e^{x\ln x}\left( x \ln x \right)'=e^{x\ln x}\left( x'\ln x+x(\ln x)') \right)=

=e^{x\ln x}\left(\ln x+x(1/x) \right)=e^{x\ln x}(\ln{x} +1)=x^x(1+\ln{x}).

На первом этапе мы применили формулу производной сложной функции. Далее была использована формула для
производной произведения. В итоге имеем:

\left( x^x \right)'=x^x \left(1+\ln{x}\right)=x^x+x^x\ln{x}.