ЗАДАЧА № 6

Вычислить предел функции

\lim_{x \to \infty}\frac{x^{3}+5}{x^{2}+3}.

РЕШЕНИЕ:


Числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Для раскрытия неопределенности поделим числитель и знаменатель на


x^{3}.

Имеем:

\lim_{x \to \infty}\frac{x^{3}+5}{x^{2}+3}=\lim_{x \to \infty}\frac{(x^{3}+5)/x^{3}}{(x^{2}+3)/x^{3}}=\lim_{x \to \infty}\frac{1+5/x^{3}}{1/x+3/x^{3}}=

=\frac{\lim_{x \to \infty}{(1+5/x^{3})}}{\lim_{x \to \infty}{(1/x+3/x^{3})}}=\frac{1+\lim_{x \to \infty}{(5/x^{3})}}{\lim_{x \to \infty}{(1/x)}+\lim_{x \to \infty}{(3/x^{3})}}=\frac{1+0}{0+0}=\infty.

Таким образом, используя последовательно теоремы о пределах - предел частного и предел суммы - мы нашли, что

\lim_{x \to \infty}\frac{x^{3}+5}{x^{2}+3}=\infty.